抽代第一篇笔记
$ab=ba$ 交换律在实数系中是显然的，但是在抽代中有很多对象并不满足交换律，甚至严格来说，交换律并不是一般成立的；
$(ab)c=a(bc)$ 结合律也不一定成立，比如涉及到非结合代数的时候；
定义不要死记硬背，要理解定义，光背诵是没有用的；
学习过程中，要积累足够的例子，不要空泛地对着定义的描述空想；
研究历史的起源：代数方程的解
比如小学的一元一次方程：
进而，16、17世纪的研究结果表明，三次、四次方程也是存在根式解的.
问题来了：五次以及五次以上方程的根式解是否存在？
其实就是：（非空）集合 + 运算
抽象代数研究的对象，就是各种各样的代数体系
**注：**空集过于平凡，因此我们在讨论代数体系的时候，不包括空集，但这并不代表它不重要或者不会出现；
邓老师：默认我们非常清楚集合、映射的概念
下面讲解一些与映射相关的基础概念.
设 $A_0$ 是 $A$ 的子集，定义 $A_0$ 到 $A$ 的映射 $i:A_0 \rightarrow A$ 使得 $i(x)=x,x \in A_0$，称 $i$ 为 $A_0$ 到 $A$ 的嵌入映射
设 $A_0$ 是 $A$ 的子集，$f$ 是 $A$ 到 $B$ 的映射，$g$ 是 $A_0$ 到 $B$ 的映射，若 $f(x)=g(x)$ 对于 $x \in A_0$ 恒成立，那么称 $f$ 是 $g$ 的开拓，$g$ 是 $f$ 在 $A_0$ 上的限制——记作 $g=f|_{A_0}$
下面引入例子介绍一个重要概念：交换图
假设我们有如下映射：
交换图有个好处，就是当这种映射关系极为复杂的时候，它比使用等式更简单，比如下图
设 $A_0$ , $A$ , $B$ 如定义 1.1.2，$f$ 为 $g$ 的开拓，我们有交换图：
下面来讲解集合
设 $A_1$ , $A_2$ 为两个集合，令 $A_1 \times A_2 = \{ (a,b)| a \in A_1, b \in A_2\}$，称 $A_1 \times A_2$ 为 $A_1$ 与 $A_2$ 的直积.
注 1：注意定义是有顺序的
注 2：可以很容易就推广到 $n$ 个集合的直积
接下来讲解的是运算
邓老：运算的本质就是
设 $A$ , $B$ , $D$ 是非空集合，有映射 $f:A \times B \rightarrow D$ ，则此映射称为 $A$ 与 $B$ 到 $D$ 的一个代数运算.
设 $\mathbb{V}$ 是线性空间，数域为 $\mathbb{P}$ ，则
$\mathbb{V}$ 中的加法确定一个代数运算：$\mathbb{V} \times \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{V}$
$\mathbb{P}$ 与 $\mathbb{V}$ 的数乘确定一个代数运算：$\mathbb{P} \times \mathbb{V} \rightarrow \mathbb{V}$
设 $\mathbb{P}$ 是数域，则 $\mathbb{P}^{n\times n}$ 是 $\mathbb{P}$ 上 $n$ 阶方阵的集合
那么矩阵加法、矩阵乘法都是 $\mathbb{P}^{n\times n} \times \mathbb{P}^{n\times n}$ 到 $\mathbb{P}^{n\times n}$ 的代数运算
若在 定义1.1.4 中，集合 $A$ , $B$ , $D$ 相同，则称 $f$ 是 $A$ 上的二元运算
注：此处的约定已经隐式地包含了 “封闭性” 这一性质
一般把 运算 $f(a,b)$ 写成 $a \cdot b$ 或者 $ab$ ，有时也会使用符号 $+$ 或者 $\times$ ，并用括号来表示优先级：$d((ab)c)$
因为写成传统的映射形式过于冗长……
接下来讲解一下运算规律：
设 $A$ 上定义了二元运算，且 $ab=ba$ 对于一切 $a,b \in A$ 恒成立，则称该运算满足交换律
设 $A$ 上定义了二元运算，且 $(ab)c=a(bc)$ 对于一切 $a,b,c \in A$ 恒成立，则称该运算满足结合律
设 $A$ 上定义了两种二元运算 $+$ 和 $\cdot$ 并有 $a\cdot (b+c) = a \cdot b +a \cdot c$ 对于一切 $a,b,c \in A$ 恒成立，则称运算 $\cdot$ 满足对运算 $+$ 的左分配律；
右分配律可以类似地定义；
若同时满足左、右分配律，则称一种运算对另一种运算满足分配律
设 $A$ 上定义了代数运算，且运算满足结合律，则对于一切 $n \in N^+$，$a^n$ 是有意义的；
进而，如果还满足交换律，则 $(ab)^n=a^nb^n$ 是成立的；
设运算 $f:A \times B \rightarrow D$ ，且 $A$ 和 $B$ 都是有限集
那么运算表就是将 $A$ 和 $B$ 的元素像数据结构中的邻接矩阵那样一横一纵地列出，并填上每对元素的运算结果。
——其实，就跟邻接矩阵几乎没有任何区别……
设 $A=\{1,2\},B=\{1,2\},D=\{奇，偶\}$，其运算用运算表的形式表示就是：
| f | 1 | 2 |
|---|---|---|
| 1 | 奇 | 偶 |
| 2 | 偶 | 奇 |
设 $A$ 是非空集合，则 $A$ 上的一个关系是 $A\times A$ 的一个子集 $R$ ；
对于一切 $a,b \in A$，$a\, R\, b$ 当当且仅当有序对 $(a,b) \in R$
设非空集合 $A$ 上定义了关系 $R$ ，若 $R$ 满足条件：
则称 $R$ 是定义在 $A$ 上的一个等价关系
定义在实数集 $\mathbb{R}$ 上的序关系 $\leq$ 不是等价关系
$\mathbb{P}^{n \times n}$ 上的相似关系是等价关系
设 $A$ 是非空集合，$A$ 的一个分划是指一个 $A$ 的子集的集合，且满足：对于一切的 $a\in A$，$a$ 恰包含于 $A$ 的一个子集中
注解：直观地说， $A$ 的一个分划就是将 $A$ 写成一些不相交的非空子集的并，即：
$A$ 的一个分划决定了 $A$ 上的一个等价关系.
Proof
设 $A=\bigcup_{i \in I}A_i$，且 $A_i \neq \varnothing$ ，$A_i \cap A_j = \varnothing$ 对于一切 $i\neq j$ 成立.
定义关系 $R$ : $a\, R\, b$ 当且仅当： $\exists i \in I,\ a,b \in A_i$
再验证 $R$ 满足等价关系的三个性质.
Q.E.D.
既然，集合的分划直接确定其上的等价关系，那么反过来是否仍然成立呢？先介绍几个概念，我们后面将会知晓.
设 $A$ 非空，且 $A$ 中有一个等价关系 $R$ ，设 $a\in A$，定义 $a$ 的等价类为 $\overline{a}=\{b \in A\ |\ a\, R \, b\}$，或记作 $[a]$
设 $A$ 非空，且 $A$ 中有一个等价关系 $R$ ，定义集合 $A/R=\{\overline{a}\ |\ a \in A\}$ 为 $A$ 对于 $R$ 的商集.
注解：注意，在 $A$ 中可能存在两个不同的元素 $a_1$ 和 $a_2$ ，其等价类都是 $\overline{a}$ ，在这种重复出现的情况下，商集当然只取一次.
定义映射 $\pi :A \rightarrow A/R$，满足 $\pi(a)=\overline{a}$ ，称之为 $A$ 到 $A/R$ 的自然映射
$A$ 中的一个等价关系 $R$ 决定了 $A$ 的一个分划.
证略.
设集合 $A$ 非空，$A$ 中定义了二元运算 $\cdot$ 和等价关系 $R$，如果 $R$ 和 $\cdot$ 满足：
正如我们知道的，所谓代数体系，就是 “集合+运算”，那么我们由原来的代数体系构造成一个新的代数体系，所需要做的无非就是构造新的集合，再定义新的运算. 现在我们就是构造之.
设 $R$ 是 $A$ 中对于 $\cdot$ 的同余关系，我们有
还记得实数理论吗？定义新的运算之后，我们要说明新的运算是良定义的：
假设 $a,c \in A$，且 $\overline{a} =\overline{c}$，那么 $\overline{a} \overline{\cdot}\overline{b}:=\overline{a \cdot b}$ 且 $\overline{c} \overline{\cdot}\overline{b}:=\overline{c \cdot b}$，注意到 $R$ 是 $A$ 中对于 $\cdot$ 的同余关系，所以 $(a\cdot b)\,R\,(c\cdot b)$，于是 $\overline{a\cdot b}=\overline{c\cdot b}$ 成立，于是新的运算是良定义的.
—— “$R$ 是 $A$ 中对于 $\cdot$ 的同余关系” 这一条件是必不可少的！
设 $\mathbb{Z}$ 中取 $m>0$，定义关系 $R$ 满足 $a\,R\,b$ 当且仅当 $m|(b-a)$，显然 $R$ 是等价关系，而 $\mathbb{Z}$ 中有 $+$ 和 $\cdot$ 运算， $R$ 是它们的同余关系.
注解：顾名思义，抽代中的同余关系的名称其实就是从数论中的同余关系 “延拓” 而来的；
定义 $\mathbb{P}^{n \times n}$ 上的关系 $R$，$ARB$ 当且仅当 $\mathrm{det}(A) =\mathrm{det}(B)$；$R$ 是 $\mathbb{P}^{n \times n}$ 上的等价关系；
而 $R$ 对于 $\mathbb{P}^{n \times n}$ 上的加法不是同余关系；
$R$ 对于 $\mathbb{P}^{n \times n}$ 上的矩阵乘法是同余关系.