在知乎上看到一道据说是小学水平的奥数题（小学，确定？），顺手解之，记录于此.

Title

有若干个互不相同的自然数，任意地从中选取 $3$ 个数，对其求和；再将所有照此方法得到的和求总和，得到 $1064$，问：若将原来的自然数以从小到大的顺序排列，排在第二位的数是多少？

Solution

设原来自然数构成的集合的基数为 $n$，考虑其中任意一个自然数，包含该自然数的 3-subset 共有 $n-1 \choose 2$ 个；注意到，对于每一个自然数都是如此，因此，每一个自然数都被重复相加了 $n-1 \choose 2$ 次.

将 $1064$ 分解质因数如下：

其中只有 $28$ 是三角形数，而 $28= {8 \choose 2}$，于是可以确定 $n=9$，且自然数之和为 $38$.

注意到原来的自然数是互不相同的，于是我们考虑 $9$ 个自然数可能的最小和为：

于是，我们可以得知，要使得自然数之和为 $38$，只能在上式的基础上，在第八或者第九个数上继续往上加，否则（很容易用反证法推出）和一定超过 $38$，于是前七个数必须恰为 $0$ 至 $7$. 所以答案为 $1​$ .

Q.E.D.