Title

对圆周上的每一个点都涂上 $n$ 种颜色中之一，试证：对于此圆形，存在一个内接梯形，其四个顶点具有相同的颜色.

Proof

由简单的几何知识出发可以注意到这一基本事实：

圆周上两条长度相同的弦，若其端点不重合，则这两条弦的四个端点构成一个等腰梯形.

取圆周上 $(n+1) \cdot (n^2+1)$ 个等分点，这些点中每一个都被染上 $n$ 种颜色中之一. 对每相邻的 $n+1$ 个点为一组进行分组，共分成 $n^2+1$ 组.

由抽屉原理可知，在每一组中，$n+1$ 个点染上不超过 $n$ 种颜色，因此，存在两个点其颜色相同，将这两个点连接成一条弦.

又，总共有 $n^2+1$ 组，从而可以生成 $n^2+1$ 条弦，每一条弦的两端点颜色都是一致的.

从端点颜色的维度看，这些弦可能有 $n$ 种端点颜色；从长度的维度看，总共 $n$ 种可能的长度. 而总共 $n^2+1 >n^2$ 条弦，因此，继续由抽屉原理可知，存在两条弦，它们的端点颜色一致，且长度相等. 最后由引理可以断定,这四个颜色相同的点构成了圆的内接梯形.

Q.E.D.

Note

1. 这一问题是一个漂亮的 “多维抽屉” 的例子，抽屉的构造需要考虑到 颜色 和 长度 两个维度；
2. $(n+1)\cdot (n^2+1)$ 这个数不是凭空得到的，从多维抽屉的构造思路出发不难得到；
3. 另外一个挺关键的地方在于，一般在组合几何问题中，梯形的基本构造元素是 上底 和下底， 但此问题不太一样，梯形是通过 两条（长度相等的腰）凑出来的；
4. 本问题是 Exercise 002 的推广，然而使用的方法并非后者的推广——尽管此问题的方法可以用于解决 Exercise 002. 在另一篇文章中后者的解法应该是比较特化的，技巧性也稍强一些.