Title

在一块 $3\times 7​$ 的棋盘上对每一个格子涂上黑白两种颜色中之一，试证：棋盘上可以划出一个矩形子区域，其四个顶点格的颜色相同.

Proof

为了讨论的方便，给棋盘的每个格子标注坐标 $(x,y)$，其中 $1 \leq x \leq 7, \ 1 \leq y \leq 3$ . $x$ 坐标代表列，$y$ 坐标代表行.

注意到每一行有七个格子，染上两种颜色，由抽屉原理可知，任意一行上都存在至少 $4$ 个格子被染上同一种颜色. 不失其一般性，我们不妨设第一行的有四个格子被染上黑色，分别记作 $(x_1,1),(x_2,1),(x_3,1),(x_4,1)$.

现在我们考虑其他两行中，这四个格子所在列上的格子，即 $(x_1,2),(x_2,2),(x_3,2),(x_4,2)$ 和 $(x_1,3),(x_2,3),(x_3,3),(x_4,3)$：

1. 若，$(x_1,2),(x_2,2),(x_3,2),(x_4,2)​$ 中存在不少于两个黑格子，或者 $(x_1,3),(x_2,3),(x_3,3),(x_4,3)​$ 中存在不少于两个黑格子：
   则第二行或第三行中的这两个黑格子，与 $(x_1,1),(x_2,1),(x_3,1),(x_4,1)​$ 中对应列的黑格子，构成一个四顶点格同为黑色的矩形区域；

2. 若在 $(x_1,2),(x_2,2),(x_3,2),(x_4,2)$ 和 $(x_1,3),(x_2,3),(x_3,3),(x_4,3)$ 两行中分别至多存在一个黑格子：
   则 $(x_1,2),(x_2,2),(x_3,2),(x_4,2)$ 中至少有三个白格子，$(x_1,3),(x_2,3),(x_3,3),(x_4,3)$ 也至少有三个白格子.
   但是由于这 $6$ 个白格子分布在 $4$ 列 $2$ 行中，所以由抽屉原理可知，存在两列 $x_i, \ x_j \in \{x_1, x_2, x_3, x_4\}$ 使得 $(x_i,2),(x_j,2),(x_i,3),(x_j,3)$ 为白格子，于是仍得到一个四顶点格颜色相同的矩形区域.

   

Q.E.D.