设 $x$ 是无理数，试证：存在某个不大于 $n-1$ 的正整数 $p$ ，使得 $px$ 与离其最近的整数的距离小于 $\frac{1}{n}$.
将区间 $(0,1)$ 划分如下：
$$(0,\frac{1}{n}),\ (\frac{1}{n},\frac{2}{n}),\ \cdots,\ (\frac{n-1}{n},1)$$
并考虑如下
$n-1$ 个乘积：
$x$ ,
$2x$ ,
$3x$ , …… ,
$(n-1)x$（注意到
$x$ 是无理数，因而
$x$ 与整数相乘之积也是无理数）：
-
若存在某个数 $p \in [n-1]$，使得乘积 $px$ 的小数部分位于 $(0,\frac{1}{n})$ 或者 $(\frac{n-1}{n},1)$ 中，则显然 $p$ 是使得命题成立的正整数；
-
若 case 1 不成立：
则 $n-1$ 个乘积都将各自分布在于 $(\frac{1}{n},\frac{2}{n}),\ \cdots,\ (\frac{n-2}{n},\frac{n-1}{n})$ 这 $n-2$ 个区间中，由抽屉原理可知，存在至少两个不同的正整数，记作 $i$ , $j$ ，使得 $ix$ 和$jx$ 位于同一个区间中，那么有
$$\lvert ix-jx \rvert = \lvert(i-j)x \rvert < \frac1n$$
令正整数 $p=\lvert i-j \rvert$ ，则命题得证.
综上所述，命题成立.
Q.E.D.
- 当时在做这个问题的时候，陷入了定势，卡了很久，后来用 $\pi$ 带入 $x$ 作为例子之后，很快解决此问题（因为只需算多几个数就马上发现思路）——特殊值带入举例的方法有时候真的有助于抓住问题的实质，理清并指明做题的方向，依稀记得 Tao 也在他的博客中说过类似的体会；
- 该问题在许多初等数论的教材中会作为丢番图逼近的基础内容出现，实际上，本问题所述命题也是一个初等数论中的结论，并且由此出发好像可以引出许多更为深刻的内容，若条件允许，笔者以后也许会继续往下学习.