Title

试证：对于任意的正整数 $n$，都存在一个能被 $n$ 整除，且只由数字 $0$ 和 $1$ 构成的自然数.

Proof

构造一个长度为 $n$ 的自然数序列 $\{a_i\}^n_{i=1}$：

$$a_i=\underbrace{11\cdots1}_{i\text{ 个 }1}\underbrace{0\cdots 0}_{n-i+1\text{ 个 }0}$$
考虑这个序列模 $n$ 的结果：

  1. 存在某个 $a_i$，使得模 $n$ 为 $0$：此数显然使命题成立.

  2. 不存在某个 $a_i$，使得模 $n$ 为 $0$：

    那么这 $n$ 个自然数，模 $n$ 的范围是 $[n-1]$，由抽屉原理可知，存在 $i,j \in [n]$，$i <j$，使得 $a_i$ 和 $a_j$ 模 $n$ 同余，那么 $a_j-a_i$ 满足命题的性质.

综合可知，命题成立.

Q.E.D.

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