Title

单位正方形中有一条长为 $1000$ 且不自相交的折线段，试证：可以作一条直线，使之与这条折线段有不少于 $500$ 个交点.

Proof

将正方形的其中一个顶点放置在原点位置，一条边与 $x$ 轴重合，另一条边与 $y$ 轴重合.

假设这条不自相交的折线由 $n$ 条首尾相连的线段组成，记第 $i$ 条线段在 $x$ 轴上的投影长度为 $a_i$，在第 $y$ 轴上的投影长度为 $b_i$，于是我们有

于是，$\sum_{i=1}^n a_i$ 或 $\sum_{i=1}^n b_i$ 中必有一个不小于 $500$.

不失一般性，我们假设 $\sum_{i=1}^n a_i \geq 500$，于是我们把注意力放在每条线段在 $x$ 轴上的投影（不计端点，从而每条投影都是开区间，并且垂直于 $x$ 轴的线段的投影是 $\varnothing$ )——如果作一条垂直于 $x$ 轴的直线，那么可以认为：这条直线与投影相交，当且仅当其与此投影对应的线段相交.

下面我们来证明，一定存在这样的直线，它与不少于 $500$ 条投影相交.假设不然，那么在线段正方形长为 $1$ 的边里的任意一个开区间上，“覆盖” 的投影都少于 $500$ 条；从而我们把这条长为 $1$ 的边分划成有限个不相交的开区间，每个开区间上覆盖的投影都少于 $500$ 条——注意到，一个长为 $l$ 的开区间上覆盖了 $k$ 投影就意味着这个开区间上覆盖的投影总长为 $kl$——那么这些投影的总长度也小于 $500$，从而矛盾.

所以，正方形的 $x$ 轴边上一定存在某个点，在这点上作一条与 $x$ 轴方向垂直的直线，能使得它与折线之间有 $500$ 个交点.

Q.E.D.

Conclusion

需要说明的是，笔者并没有完整地做出本问题.

在做本题的时候，笔者已经比较模糊地想到的是

1. 应该考虑正交方向这条思路（直观上也容易理解，如果折线在某个方向上不断折返，那么在其正交的方向上作直线最容易取得较多的交点）
2. 极端的情况应该是每条小线段都与正方形的边平行的时候（类似格点连线），依然能使命题成立

但接下来的思路就陷入僵局了，尤其是本题的关键：$\sum_{i=1}^n \sqrt{a_i^2+b_i^2} \leq \sum_{i=1}^n(a_i+b_i)$——这个放缩直接就把折线的无穷多种构造归约成两个维度上的投影重叠问题，此时 “抽屉” 和 “元素” 都已明了，剩下的就是再一次简单地利用反证了.（这部分是笔者做的）

实在是巧妙！