在前 $3n$ 个自然数中（$n >1$），任取 $n+2$ 个数，试证：其中必存在两个数，这两个数的差的绝对值在 $[n,2n)$ 之内.
不妨将选出来的 $n+2$ 个数按从小到大的顺序排列，记为
构造序列 $\{a_i-a_1\}$，其中 $1 \leq i \leq 3n$，且第一项恒为 $0$，序列严格递增.
若序列中的最大项 $a_{n+2}-a_1 < n$
由抽屉原理可知，序列 $\{a_i\}$ 中显然有两项相同，矛盾；
若序列中的最大项满足 $n \leq a_{n+2}^{}-a_1 < 2n$，则命题显然成立
若序列中最大项满足 $a_{n+2}^{}-a_1 \geq 2n$，继续讨论如下：
存在某一项满足 $n \leq a_{i}^{}-a_1 < 2n$（$1 < i < n+2$） ，那么命题自然也成立
否则，必存在某自然数 $1 \leq i \leq 3n-1$，恰好使得：$a_i-a_1 < n\quad \And \quad a_{i+1}^{}-a_1 \geq 2n$，于是可知 $a_{i+1}-a_i > n$
我们再证明 $a_{i}$ 和 $a_{i+1}$ 的差小于 $2n$. 假设不然，则有 $a_{i+1}-a_i \geq 2n$，注意到这两项是相邻的，从而选中的其他数不会夹在它们中间，那么剩下的 $n$ 个数的可取值的数目为 $n-1$ 个，产生矛盾.
综上，命题得证.
Q.E.D.
在前 $3n$ 个自然数中（$n >1$），任取 $n+2$ 个数，试证：其中必存在两个数，这两个数的差的绝对值在 $(n,2n)$ 之内.
不妨将选出来的 $n+2$ 个数按从小到大的顺序排列，记为
显然有 $a_{n+2} \leq 3n$，把选择的每个数都加上 $3n-a_{n+2}$，这样处理后不改变任何两数差的绝对值，于是总可以认为取出的 $n+2$ 个数中包含 $3n$.
若除了 $3n$ 外，取出的 $n+1$ 个数中不含 $n+1$, $n+2$, $n+3$, $\ldots$, $2n-1$，把这些数之外的 $2n$ 个数划分成 $n$ 个集合： $\{1,2n\}$, $\{2,2n+1\}$, $\{3,3n+1\}$, $\cdots$, $\{n,3n-1\}$，这样剩下的 $n+1$ 个数就必须在这 $n$ 个集合中取，由抽屉原理可知，必定有两个数在同一个集合中，他们的差为 $2n-1$，于是命题得证.
Q.E.D.
非常遗憾，笔者没有完整地做出本问题，想了很久尝试了几种方法才证明了一个较弱的命题.
原问题（original title）的解法使用了几个技巧值得注意：
把选取的序列进行了 “整体平移"，这样不影响核心的要素：两数之差，又能使解答的过程的表述更为简化；
关键的一点在于，其把 $n+1$, $n+2$, $n+3$, $\ldots$, $2n-1$ 单独考虑，是把 ”空抽屉“ 先拎出来考虑，剩下的抽屉（可取值的数目）就大幅减小了，于是再应用抽屉原理——这是抽屉原理类型问题的 “优化思路” 的一种
注意，不能直接把 $3n$ 个数作为抽屉直接划分——如果你试过之后，就会发现每个抽屉的容量不能小于 $3$，否则可取值无法全部遍历；但也不能大于等于 $3$，因为每个抽屉里的数必须两两差值大于 $n$，绝对无法保持在 $3n$ 这个上限内.
另外，笔者的方法虽然也有一定的参考意义，但是是无法证明原来较强版本的命题的，伤心……