有 $9$ 位数学家，其中每 $3$ 位数学家中至少有 $2$ 位会说同一种语言，并且每位数学家至多会说 $3$ 种语言，问：
证明：存在某种语言，其至少被 $3$ 位数学家掌握；
如果其它条件不变，数学家的数量变为 $8$ 人，结论是否还成立？
记数学家的集合为 $\{p_{1}^{}, p_{2}^{}, \dots, p_{9}^{}\}$, 语言的集合为 $\{l_{1}^{}, l_{2}^{}, \dots, l_{n}^{}\}$， 共有 $n$ 种语言；
称 数学家 $p_{i}^{}$ 和数学家 $p_{j}^{}$ 有共同语言，当且仅当存在至少一门语言被这二人共同掌握。
考虑命题：任意两名数学家都有共同语言。
若此命题成立
则不妨设某位数学家 $p_{1}^{}$ 掌握 $i$ 种语言 $\{l_{1}^{}, \dots, l_{i}^{}\}(1 \leq i \leq 3)$, 于是对于其他 $8$ 位数学家，他们都至少掌握 $\{l_{1}^{}, \dots, l_{i}^{}\}$ 这 $i$ 种语言中的一种.
于是根据抽屉原理，这 $i$ 种语言中存在某种语言，在剩下的数学家中被至少 $\lceil \frac{8}{i} \rceil \geq \lceil \frac{8}{3} \rceil = 3$ 位数学家掌握；再算上数学家 $p_{1}^{}$ 本人，至少有 $4$ 人掌握了这门语言，于是我们得到了比欲证命题更强的结论。
若此命题不成立
则不妨假设存在两位数学家，记作 $p_{1}^{}$ 和 $p_{2}^{}$ ，他们没有共同语言，他们各自掌握的语言的集合记作 $L_{1}^{}$ 和 $L_{2}^{}$.
注意此二人没有共同语言，因此我们有
而此时除了此二人之外，另外还有 $7$ 名数学家；剩下的数学家中的每一位都必须掌握 $L_1 \cup L_2$ 中的至少一门语言，否则将与条件 “每 $3$ 位数学家中至少有 $2$ 位会说同一种语言” 矛盾。
注意到 $7 > 6 \geq \lvert L_1 \cup L_2 \rvert$, 由抽屉原理可知，必定有一门语言被（剩下数学家中的）至少 $2$ 位数学家掌握；再算上 $p_{1}^{}$ 或 $p_{2}^{}$ 中之一自身 ，该语言至少有 $3$ 人掌握。
综合以上讨论，命题得证。
Q.E.D.
此时结论不成立
如下图所示，字母表示数学家，整数表示语言；字母与整数间存在连线，当且仅当该字母所代表的数学家掌握该整数表示的那种语言。
可以验证：这个构造 “刚刚好” 地使得结论不成立
每位数学家都恰好掌握 $3$ 门语言；
每 $3$ 位数学家中至少有 $2$ 位会说同一种语言：
这个性质的论证可以叙述如下：
注意到：上图是由两个极大连通子图构成的图。任选 $3$ 位数学家，根据抽屉原理可知，其中必有两位处于同一个连通分量中；而处于同一个连通分量的任意两位数学家都恰好有一门共同语言；因此，题设的条件得到满足。
每种语言都恰好被 $2$ 位数学家掌握。
笔者在碰见本问题的时候，精神状态不太好，能独立做出这个 solution，一部分真是灵感和运气的功劳。
并且此问题貌似还有另解，日后可能继续补上。