给定任意 $12$ 个整数，试证：其中必定存在 $8$ 个数，将他们用适当的运算符（加减乘除和括号）连起来之后的运算结果是 $3465$ 的倍数。
首先注意到：$3465 = 11 \times 9 \times 7 \times 5$, 因此我们可以重复地使用抽屉原理如下。
考虑这 $12$ 个数模 $11$ 的余数，由抽屉原理可知，一定存在两个数，不妨记为 $a_1$ 和 $a_2$，他们模 $11$ 同余，所以，$(a_1-a_2)$ 能被 $11$ 整除。
考虑剩下的 $12-2=10$ 个数，以及它们模 $9$ 的余，由抽屉原理可知，一定存在两个数，不妨记为 $a_3$ 和 $a_4$，他们模 $9$ 同余，所以，$(a_3-a_4)$ 能被 $9$ 整除。
考虑剩下的 $10-2=8$ 个数，以及它们模 $7$ 的余，由抽屉原理可知，一定存在两个数，不妨记为 $a_5$ 和 $a_6$，他们模 $7$ 同余，所以，$(a_5-a_6)$ 能被 $7$ 整除。
考虑剩下的 $8-2=6$ 个数，以及它们模 $5$ 的余，由抽屉原理可知，一定存在两个数，不妨记为 $a_7$ 和 $a_8$，他们模 $5$ 同余，所以，$(a_7-a_8)$ 能被 $5$ 整除。
于是，$a_1$, $\cdots$, $a_8$ 就是满足题设的 $8$ 个数，且由于 $11$, $9$, $7$, $5$ 两两互质，因此 $(a_1-a_2)(a_3-a_4)(a_5-a_6)(a_7-a_8)$ 能被 $11 \times 9 \times 7 \times 5 = 3465$ 整除。
命题得证
Q.E.D.
本问题是一个典型的 “重复运用抽屉原理” 技巧示例；
第一步首先需要想到对 $3465$ 进行质因数分解，不然下面无从入手——这一步真的很骚，笔者没有想到。