能否在 $n \times n\,(n \geq 3)$ 的棋盘上的每个方格上填上数字 $1$, $2$, $3$, 使得该棋盘上的每行、每列、每条对角线上的数字之和互不相同。
答案是 不能
这个棋盘的行、列、对角线共有 $2n+2$ 条，每条都由 $n$ 个数字构成，而这 $n$ 个数字之和的可能取值下界是 $n$, 上界是 $3n$，共有 $2n+1$ 种可能项；
由抽屉原理可知，必有两组数字，它们的和相等，从而猜想不成立。
Q.E.D.