Title

在任何一个凸 $2n$ 边形（$n \geq 2$）中，总有一条对角线不与任何一条边平行。

Proof

首先，我们准备一些在凸多边形中的命题和引理：

引理1

在凸多边形中，经过同一个顶点的两条对角线必定不平行。

引理2

若在凸多边形中，两条对角线平行，那么这两条对角线的四个定点必定互不相同。

这两个命题其实都非常显然，略证。

引理3

对于一个凸 $2n$ 边形，存在一组互不相交的对角线（段），并且任意一组互不相交的对角线段的数目不超过 $2n-2$

下面开始正式的证明：

一个凸 $2n$ 边形共有 $n(2n-3)$ 条对角线，假设命题不成立，即：任何一条对角线，都有一条边与之平行，那么由抽屉原理我们可以得知：

即存在某一条边，有 $2n-1$ 条对角线与之平行，由引理2可知，这 $2n-1$ 条对角线都是互不相交的，这与引理3 矛盾。

因此，假设不成立，命题得证。

Q.E.D.