有 $40$ 个学生，每个学生在黑板上写上两个数，且任意两个学生写的数中至少有一个是相同的，试证：至少有一个数，在黑板上出现了 $27$ 次。
假设每两个学生写的两个数都是相同的：
那么这两个数各出现了 $40$ 次，命题显然成立。
假设每两个学生写的两个数不一定完全相同：
那么我们一定可以找到两个学生：甲和乙，并且假定甲写的两个数是 $A$ 和 $C$，乙写下的两个数是 $B$ 和 $C$.
此时我们注意到这样一个结论，如下所述
对于除甲乙外的第三名学生，他写下的数中如果包含一个 $A$, $B$, $C$ 之外的数，那么他所写下两数中的另一个数必定是 $C$
结论的证明很容易：首先，这第三名学生写下的数不可能和 $\{A,B,C\}$ 完全没有交集；其次，另一个数不能是 $A$, 否则就和乙没有公共数，也不能是 $B$, 否则就和甲没有公共数。
此时我们可以对除甲乙外的其他学生进行分类：
个性者：若该学生写下的两个数中包含（恰好）一个 $A$, $B$, $C$ 之外的数，那么称这位学生为 “个性者”
默契者：若该学生写下的两个数是 $\{A,B,C\}$ 中的某两个，那么称这位学生为 “默契者”
于是继续我们的证明：
剩下的学生中存在个性者：
不妨记其名字为 丙。
由前面的结论可以得知，所有的个性者，包括丙自身在内，每个人写下的数中都包括 $C$
同时，对于默契者，他们写下的数也必须包括 $C$；如若不然，则和丙同学没有共同数
所以，这种情形下，每一个人写下的数中都包括 $C$，从而此数出现了 $40$ 次，命题自然成立。
剩下的学生中不存在个性者：
那么，剩下的所有学生都是默契者，他们写的数具体是什么也不存在任何限制；
剩下的 $38$ 名学生一共写了 $38 \times 2 = 76$ 个数，这些数只能是 $A$, $B$ 或者 $C$，因此$\{A,B,C\}$ 中的某一个至少出现了 $\lceil \frac{76}{3} \rceil = 26$ 次，再算上甲乙的贡献，这个数至少出现了 $27$ 次
综上所述，命题得证。
Q.E.D.