接上一篇笔记 抽象代数 笔记 Ch01 Section02
设 $G$ 为群，$G$ 的阶指 $G$ 中元素的个数，记作 $\lvert G \rvert$
注解：
设 $G$ 为群，且 $a\in G$，若对于任何 $n \in \mathbb{N}^+$，$a^n \neq e$，则称 $a$ 的阶为无穷. 若至少存在一个正整数 $m \in \mathbb{N}^+$ ，使得 $a^m=e$，定义 $a$ 的阶为 $\mathrm{min}(k \in \mathbb{N}\mid a^k=e)$，有时候也记作 $|a|$（但不常用）
注解：
设 $G$ 是群，$a \in G$，则 $a$ 的阶为无穷，当且仅当：对于任意的 $m,n \in\mathbb{N}$，$a^m \neq a^n$.
Proof
若 $a$ 的阶无穷，反证 存在 $m,n \in\mathbb{N}$，$a^m = a^n$，不妨设 $m>n$，则 $a^{m-n}=e$，矛盾；
反之，若对于任意的 $m,n \in\mathbb{N}$，$a^m \neq a^n$. 不妨令 $n=0$ ，于是对于任意的 $m \in \mathbb{N}$，$a^m \neq e$.
Q.E.D.
设 $G$ 是群，$a \in G$， $a$ 的阶为 $d$，则有
Proof
我们只证 1 如下：
设 $k=dm$，其中 $m$ 是整数，于是 $a^k=a^{dm}=(a^d)^m=e^m=e$.
另一方面假设 $k=dq+r$，其中 $r \neq 0$ 是余数，从而 $r< d$，我们有 $a^k=a^{dq+r}=a^{dq}\cdot a^r=(a^d)^q\cdot a^r= e^q \cdot a^r =e \cdot a^r=a^r=e$，这与 $d$ 是 $a$ 的阶矛盾.
Q.E.D.
设 $G$ 是群，$a \in G$， $a$ 的阶为 $d$，则有：
Proof
只需要证 1. 因为 2 可以从 1 直接推出.
不妨设 $a^k$ 的阶为 $q$，接下来我们需要证明 $q$ 和 $d/ \mathrm{GCD}(d,k)$ 是互相整除的，从而证明它们相等；
设 $d_1=d/\mathrm{GCD}(d,k)$， $k_1=k/\mathrm{GCD}(d,k)$
我们有 $(a^k)^q=e=a^{qk}$，故 $d \mid qk$，即 $d_1 \mid qk_1$，注意到 $d_1$ 和 $k_1$ 互素，因此 $d_1 \mid q$，即 $d/ \mathrm{GCD}(d,k)$ 整除 $q$.
反之，我们考虑 $(a^k)^{d_1}$，我们有 $a^{kd_1}=a^{k_1\cdot \mathrm{GCD}(d,k) \cdot d_1}=(a^{d})^{k_1}=e$，因为 $a^k$ 的阶为 $q$，故 $q \mid d_1$.
于是我们知道 $q = d/\mathrm{GCD}(d,k)$
Q.E.D.
设 $G$ 是群，$a,b \in G$，$a$ 的阶是 $m$，$b$ 的阶是 $n$，且 $ab=ba$，$\mathrm{GCD}(m,n)=1$，则 $ab$ 的阶为 $mn$.
思考题：
Proof
设 $ab$ 的阶是 $q$，于是 $(ab)^{mn}=a^{mn}b^{mn}=e\cdot e =e$，由命题1.2.8 可知，$q \mid mn$
另一方面，考虑 $b^{qm}=a^{qm}b^{qm}=(ab)^{qm}=((ab)^q)^m=e^m=e$，所以由命题 1.2.8 可知，$n \mid qm$，注意到 $\mathrm{GCD}(m,n)=1$，所以 $n \mid q$；对于 $a^{qn}$ 可以类似地得到 $m \mid q$，即有 $mn \mid q$.
综合可知，$q=mn$.
Q.E.D.
按照邓老师的提示：$ab$ 的阶应该可能是无限的；因此我们必须考虑一个无限群；
同时，还不满足交换律——我只能想到矩阵集与其上乘法构成的群……
然后我就不会做了，如何构造具体的反例呢？
然后，经过上网查找之后（所以这不是笔者想到的），我们有
（好吧，我认输……）2 2234
笔者猜想，此时结论应为：$ab$ 的阶为 $\mathrm{LCM}(m,n)$.
试证如下：
设 $p=\mathrm{LCM}(m,n)$，并设 $q$ 是 $ab$ 的阶，再设 $m_1=p/m$，$n_1=p/n$，仿照课堂的思路，我们尝试证明 $p,q$ 互相整除，从而相等；
首先，考虑 $(ab)^p= a^pb^p=(a^m)^{m_1}(b^n)^{n_1}=e \cdot e=e$，所以由命题1.2.8 可知，$q \mid p$；
另一方面，考虑 $a^{qn}=a^{qn}b^{qn}=(ab)^{qn}=e$，于是由命题 1.2.8 可知，$m \mid qn$ 即 $m_1 \mid qn_1$，注意到 $m_1,n_1$ 互素，因此 $m_1 \mid q$；同理可得 $n_1 \mid q$.
（然后做到这里我就卡住了……）
然后有一位网友给出了这样的反例构造：
考虑群 $\{Z18,+\}$，$3$ 的阶是 $6$，$6$ 的阶是 $3$，但 $3+6=9$ 的阶是 $2 \neq \mathrm{LCM}(6,3)$……
所以，我的猜想又错了. 啪啪啪，打脸……
在做思考题第2问的时候，笔者求助了笔者加入的一个 “数学分析交流群” 的各位朋友，最终解决了这一问题；
谢谢 TA 们热情的参与，讨论和思考！谢谢北场哥哥、想做名词党同学、zhy同学的讨论，谢谢海伦小姐姐同学给出的结论修正，以及——皮卡同学的idea（想到的反例），这种讨论着学习的感觉真好！