接上一篇笔记 抽象代数 笔记 Ch01 Section01
邓老师：
群表面上是最简单的东西，实际上它是最难的；
所谓群，可以这么表示：群 = 非空集合 + 二元运算 + （规律）性质——而且是一个非空集合，一种二元运算
设 $G$ 是一个非空集合，$G$ 上有二元运算 $\cdot$ ，且满足结合律，则称 $\{G,\cdot\}$ （或简写为 $G$ ）为半群.
考虑正整数的集合 $\mathbb{N}^+$ 以及其上的加法运算，$\{\mathbb{N}^+,+\}$ 是一个半群，$\{\mathbb{N}^+,\times\}$ 也是半群
设 $A$ 非空，$M(A)$ 是 $A$ 上所有变换（即到自身的映射）的集合，并考虑复合运算，于是 $\{M(A),\circ\}$ 是半群
设 $A$ 非空，$\mathrm{P}(A)$ 是其幂集，则 $\{\mathrm{P}(A), \cup\}$ 是半群； $\{\mathrm{P}(A), \cap\}$ 也是半群.
设 $\{G,\cdot\}$ 是半群，若存在元素 $e_1 \in G$ 满足 $\forall a \in G, e_1 \cdot a =a$ ，则称 $e_1$ 是 $G$ 的左幺元；
若存在元素 $e_2 \in G$ 满足 $\forall a \in G, a \cdot e_2 =a$ ，则称 $e_2$ 是 $G$ 的右幺元；
若某个元素同时是左幺元和右幺元，则称其为幺元，也称单位元；
若半群 $\{G,\cdot\}$ 有幺元，则称其为幺半群；
设 $\{G,\cdot\}$ 是幺半群，其幺元为 $e$：
若 $\forall a \in G, \exists a' \in G , a' \cdot a =e$，则称 $a'$ 为 $a$ 的左逆元；同理可类似定义右逆元；
若某元素既是 $a$ 的左逆，也是 $a$ 的右逆，则称 $b$ 是 $a$ 的逆元，记作 $b=a^{-1}$
若幺半群 $\{G,\cdot\}$ 中的每个元素都有逆元，则称 $\{G,\cdot\}$ 为群
任何一个数域 $\mathbb{P}$ 对数的加法都构成群
注解：笔者一开始是蒙逼的，后来上网查了之后才明白老师这里说的数域并不是我们平常说的 “数系”
其运算满足交换律的群称为阿贝尔群 / Abel群 / 交换群
数域 $\mathbb{P}$ 对于乘法只是幺半群，而不是群；而令 $\mathbb{P}^*=\mathbb{P}-\{0\}$ 对乘法构成阿贝尔群
$\{1,-1\}$ 对乘法构成一个阿贝尔群
设 $A$ 非空，$M(A)$ 是 $A$ 上所有变换（即到自身的映射）的集合，$S(A)$ 是 $M(A)$ 中可逆变换的集合，并考虑复合运算，于是 $\{S(A),\circ\}$ 是群，称为 $A$ 的全变换群
Proof
假设 $e$ , $e'$ 都是幺半群的幺元，则有 $e=ee'=e'$，证毕.
Q.E.D.
Proof
设 $a \in G$，且 $a_1,a_2$ 均为 $a$ 逆元，则由逆元的定义、幺元的定义和结合律我们可以得知：
Q.E.D.
从朴素集合到群所添加的四条性质就是大名鼎鼎的群的 “四大公理”：
Proof
现证左消去律. 设 $a,b,c \in G$，且 $ab=ac$，用 $a^{-1}$ 左乘以上式得到：
Q.E.D.
证略，显然如此，解分别为 $a^{-1}b$ 和 $ba^{-1}$，再由消去律证唯一性即可.
群的定义有许多个版本，现在列举如下
最经典的定义：四大公理
将四大公理中的第三条弱化为：存在左幺元；
第四条弱化为：每个元素存在左逆元（同时弱化为 “左” ）
将四大公理中的第三条弱化为：存在右幺元；
第四条弱化为：每个元素存在右逆元（同时弱化为 “右” ）
Proof
任取 $a \in G$，那么方程 $xa=a$ 存在解 $e_a$.
$\forall\ c \in G$，方程 $ax=c$ 有解 $d$，则 $c=ad$，则 $e_ac=e_a(ad)=(e_aa)d=ad=c$，所以 $e_a$ 是左逆元
另外， $\forall b \in G$，方程 $xb=e_a$ 有解，解就是 $b$ 的左逆.
根据群的第二种定义，$G$ 是群.
Q.E.D.
上面的命题可以看作群的第四种定义
Proof
已知 $|G|<\infty$ ，设 $G=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$.
考虑方程 $a_ix=a_j$，以及元素 $a_ia_1,a_ia_2, \cdots, a_ia_n$
若有 $l \neq k$ 使得 $a_ia_l = a_ia_k$，则我们可以用消去律得到 $a_l =a_k$，矛盾.
于是 $a_ia_1,a_ia_2, \cdots, a_ia_n$ 这些元素必定两两不相等，且其中必有一个等于 $a_j$，于是方程 $a_ix=a_j$ 有解，类似可证：方程 $xa_i=a_j$ 有解.
由命题 1.2.5 可知，$G$ 为群.
Q.E.D.
注意：有限这一条件是必要的，否则我们可以举出反例：$\mathbb{N}^+$ 对于乘法不是群.
一般而言，如果一个群的运算符号是一个点 $\cdot$ 或者是一个小圆圈 $\circ$ 或者直接什么也不写，我们会把这个群称之为乘法群；如果 $G$ 是一个交换群，我们一般把运算写成加法 $+$，称为加法群
一、对于乘法群：
若 $G$ 是半群，对于 $a \in G$ 和 $n \in \mathbb{N}^+$，$a^n$ 有定义；
若 $G$ 是群，对于 $a \in G$ 和 $n \in \mathbb{Z}$ ，$a^n$ 有定义：
进而，我们有
$\forall m,n \in \mathbb{Z},a^ma^n=a^{m+n}$ 和 $\forall m,n \in \mathbb{Z},(a^m)^n=a^{mn}$
二、对于加法群：
邓老师：群的产生与对称是密不可分的，有许多教材就经常会把 ”群与对称“ 作为标题；国外某位数学家——他们在强调观点的时候往往会说得比较绝对化——曾说过：对称即群
在自然界中对称的情况是很常见的，比如欧几里得空间中，刚体运动对于此空间就成为群——刚体运动是可逆的；
还有线性空间上所有可逆的线性变换与数域，还有 Galois 群是从数域的对称性导出的……
（笔者：一脸蒙逼……）